3 Exponentialfunktion und Logarithmen

Kapitelübersicht:

3.1 Exponentialfunktion
3.2 Logarithmen
3.3 Übungen

Animierte Graphiken:



3.1 Exponentialfunktion

Es sei a eine positive Zahl $(a\ne 1)$. Dann heißt die Funktion

$$\exp_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad \exp_a(x)=a^x $$

Exponentialfunktion zur Basis $a$.
Die bekannnteste Exponentialfunktion ist die zur Basis $e$ (Eulersche Zahl), diese wird nur mit $\exp(x)=e^x$ bezeichnet.

Rechenregeln (folgen direkt aus den Potenzgesetzen):

\begin{align*} \exp_a(0)&=1\\ \exp_a(x+y)&=\exp_a(x)\cdot\exp_a (y)&& a^{x+y}=a^x\cdot a^y\\ \exp_a(x-y)&=\frac{\exp_a(x)}{\exp_a(y)}&& a^{x-y}=a^x : a^y=\frac{a^x}{a^y}\\ \exp_a(-x)&=\exp_{\frac{1}{a}}(x)&& a^{-x}=\frac{1}{a^x}=\left(\frac{1}{a}\right)^x \end{align*}

Graphische Darstellung: Basis $a>1$ (links) und $a<1$ (rechts) - alle Graphen gehen durch den Punkt (0;1).

Grafik a>1Grafik a<1


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