5 Funktionen

Kapitelübersicht:

5.1 Allgemeines
5.2 Umkehrfunktion
5.3 Differenzieren
5.4 Integrieren
5.5 Übungen

5.1 Allgemeines

Streckung Stauchung von Funktionen:

Eine Funktion $y= f(x)$ wird durch Multiplikation mit dem Formfaktor a

  • in y-Richtung gestreckt, wenn der Betrag $ |a| > 1 $ ist,
  • in y-Richtung gestaucht, wenn der Betrag $|a| < 1 $ ist,
  • zusätzlich an der x-Achse gespiegelt, wenn $ a < 0 $ ist.
  • Beispiel: Die Normalparabel $y=a\cdot x^2$

    Beispiel Parabel
    Betrachten Sie dazu auch folgendes Applet


    Verschiebung entlang der x-Achse

    Die Funktion $y = f(x)$ wird entlang der x-Achse verschoben, wenn man $x$ durch $x-x_0$ ersetzt: $y = f(x-x_0)$.
    Hierbei gilt:

  • Ist $ x_0 > 0 $ so wird die Funktion nach rechts verschoben
  • Ist $ x_0 < 0 $ so wird die Funktion nach links verschoben
  • Beispiel: Die Normalparabel $y = f(x-x_0)$
    Beispiel Parabel
    Betrachten Sie dazu auch folgendes Applet


    Verschiebung entlang der y-Achse

    Die Funktion $y = f(x)$ wird entlang der y-Achse verschoben, wenn ein Term $y_0$ zu der Funktion addiert wird: $y = f(x) + y_0 $.

    Hierbei gilt:

  • Ist $ y_0 > 0 $ so wird die Funktion nach oben verschoben
  • Ist $ y_0 < 0 $ so wird die Funktion nach unten verschoben
  • Beispiel: Die Normalparabel $y= x^2 + y_0$
    Beispiel Parabel
    Betrachten Sie dazu auch folgendes Applet

    Die Kombination beider Parameter kann man für den Fall einer Parabel $f(x)=(x+a)^2+b$ hier sehen.

    Spiegelung an x-Achse und y-Achse:

    Spiegelung an der x-Achse:

    $f(x) = -f(x)$

    Spiegelung an der y-Achse:

    $f(x) = f(-x)$

    Beispiel Spiegelungen



    Allgemeine quadratische Funktion:
    $f(x) = ax^2 + bx + c$
    Scheitelpunktform:

    $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a}+c$

    Beispiel:
    \begin{eqnarray*} y&=&2x^2+2x-4 = 2(x-1)(x+2)\\ &=& 2(x^2+x-2)\\ &=&2\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-2\right]\\ &=&2\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]\\ &=&2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{2} \end{eqnarray*}
    Die Funktion wird also um$\frac{1}{2}$ nach links verschoben, mit Faktor 2 gestreckt und um $\frac{9}{2}$ nach unten verschoben.
    Beispiel Parabel

    Auch das kann an einem Applet überprüft werden.

    Verkettung von Funktionen:
    Ist für $x\in D$ eine Funktion $z=g(x)$ mit dem Wertebereich $W$ gegeben und ferner für "$z\in W$ eine Funktion $y=f(z)$, dann heißt $y=f(g(x)), \quad x \in D$

    mittelbare (oder verkette) Funktion. Andere Schreibweise: $y=(f\circ g)(x)$

    Beispiele:
    \begin{eqnarray*} y&=&\sin(x^2)\Rightarrow z=x^2\quad\mbox{und}\quad y=\sin z\\ y&=&(\sin x)^2\Rightarrow z=\sin x\quad\mbox{und}\quad y= z^2\\ y&=&e^{2x+4}\Rightarrow z=2x+4\quad\mbox{und}\quad y= e^z \end{eqnarray*}


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